阶

阶是矩阵中的列数, 几阶代表有几种变量,如三个变量x,y,z就是三阶.
阶在代数中就是元,如二元一次方程,用矩阵表示就是二阶.
阶在几何中就是维度,如三维空间,用矩阵表示就是有三阶.

阶数

阶数就是阶的数值, 一阶的阶数就是一, 二阶的阶数就是二, 三阶的阶数就是三.

方程

方程也就是等式表达式.

高斯消元

高斯消元就是指消元法,由于西法科学界是高斯发明的, 因此以高斯命名.
高斯消元多出现在矩阵变化中.
消元法是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其代入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的.

• 两方程互换，解不变；
• 一方程乘以非零数k，解不变；
• 一方程乘以数k加上另一方程，解不变

秩

一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数.
线性代数中就是多元表达式最简表示中, 所有表达式(子式)中某一个表达式出现变量最多的变量的个数
矩阵中就是通过高斯消元后, 所有行中某一行列不为零最多列的列的个数

矩阵的秩

特指秩出现在矩阵的个数, 一般表示为rank(A)
如矩阵A的秩为r, 表示为rank(A) = r.

转置矩阵

转置矩阵就是把矩阵的行列交换, 第n行变成第n列.
形式上说，m × n矩阵A的转置是n × m矩阵.
转置矩阵一般表示为 A^T 或者 A'

方阵

方阵指行数及列数皆相同的矩阵，即矩阵大小为n × n, 也叫方块矩阵.

单位矩阵

单位矩阵是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1,除此以外全都为0,一般表示为 I_n
任何矩阵与单位矩阵相乘都等于其本身，如同数的乘法中的1，这也是只有对角线为1的方阵被称为单位矩阵的原因.

逆矩阵

设A是一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使得： AB=BA=I_n ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵, B表示为 A^{-1}

乘法(叉乘)

设A为 m × p 的矩阵，B为 p × n 的矩阵，那么称m × n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 C = A × B 或者 C = AB
其中矩阵C中的第(i,j)列元素可以表示为
(C)_{ij} = (AB)_{ij}= A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+A_{i3}B_{3j} ... + A_{ip}B_{pj}

例如 A=\begin{bmatrix} a11,a12,a13 \\ a21,a22,a23 \\ \end{bmatrix}
B=\begin{bmatrix} b11,b12 \\ b21,b22 \\ b31,b32 \\ \end{bmatrix}
则
C=AB=\begin{bmatrix} a11*b11+a12*b21+a13*b31, a11*b12+a12*b22+a13*b32 \\ a21*b11+a22*b21+a23*b31, a21*b12+a22*b22+a23*b32 \\ \end{bmatrix}

左乘

在矩阵 C = AB 的等式里面, C 等于 B 左乘矩阵A

• 左乘就是: 用B矩阵里的p维的列向量j为基础，分别乘以A矩阵中的i个p维行向量，每次得到一个标量, 总共得到i个标量. 这i个标量构成C中的一个i维的列向量j.

右乘

在矩阵 C = AB 的等式里面, C 等于 A 右乘矩阵B

• 右乘就是: 用A矩阵里的p维的行向量i为基础，分别乘以B矩阵中的j个p维列向量，每次得到一个标量, 总共得到j个标量. 这j个标量构成C中的一个j维的行向量i.

基本法则

• 乘法结合律：(AB)C=A(BC)
• 乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
• 乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
• 对数乘的结合性: k(AB)=(kA)B=A(kB)
• 转置: (AB)^T= B^TA^T

转置矩阵乘以矩阵

• 求解协方差矩阵: A^TA
• 最小二乘解(求解线性方程的\beta值): (A^TA)^{-1}A^T
• 获取特征值和特征向量: A^TA
• 获取矩阵的秩, 获取A^TA结果中非零行的数值就是矩阵的秩
• 判断列变量是否线性无关: A^TA的结果中, 所有特征值都是正数的话, 则列变量线性不相关
• 判断是否是正交矩阵: 如国A^TA=I, 则A是正交矩阵
• 判断是否是对角线矩阵: A^TA会消除全为零的行, 方便判断是否是对角线矩阵